Hola, Mónica.
Verás, el apellido Vallina (que también existe como Ballina) es típicamente asturiano. Puedes encontrarlo en otros lugares, pero puesto que conoces el dato de que tu abuelo embarcó en Gijón, lo más probable es que efectivamente él provenía de Asturias.
Ahora bien, este apellido está bastante extendido por toda Asturias, de modo que puede ser de un concejo o de muchos otros. Te informo de que aquí un concejo es una división territorial menor, equivalente a lo que en otros lugares es un municipio. En total, Asturias tiene 78 concejos.
Cada concejo tiene una extensión variable, los hay mayores y otros muy pequeños. En cada uno hay una serie de poblaciones, y una de ellas es la capital del mismo. Los concejos tienen cada cual su propio nombre. A veces coincide el nombre de la capital del concejo con el nombre del concejo, pero no siempre es así. Por ejemplo, existe el concejo de Piloña, capital Infiesto, pero también el concejo de Oviedo, cuya capital es la ciudad de Oviedo, que lo es también de toda Asturias.
Desde la Edad Media, nuestro territorio siempre se llamó Asturias, pero a partir de 1833 se hizo una reforma territorial copiando el modelo francés, apareciendo las provincias tal como las conocemos ahora. Desde ese momento, el territorio asturiano pasó a ser llamado oficialmente "Provincia de Oviedo", aunque en el lenguaje corriente todo el mundo seguía denominando a nuestra tierra Asturias, y a sus habitantes asturianos, quedando el término "ovetenses" exclusivamente para los de la ciudad de Oviedo.
Aunque nadie empleaba otra denominación que la de "Asturias" para usos normales, en cambio todos los documentos oficiales, tales como pasaportes, documentos de identidad, certificados de nacimiento, defunción, documentos notariales, etc, todos, digo, recogen el nombre oficial de "Provincia de Oviedo", y muchas veces simplemente "Oviedo" sin más, dándose por sabido que se referían a la provincia, al corresponder el nombre a la casilla correspondiente de los impresos.
Esto funcionó así durante todo el siglo XIX y buena parte del XX, hasta que con la llegada de la democracia Asturias tuvo su estatuto de autonomía, en los años 1978-79. Mediante ese estatuto recuperamos nuestro nombre histórico y ya no somos la "Provincia de Oviedo".
Para la fecha que mencionas cabe la duda de si tu abuelo era natural de "la Provincia de Oviedo", o de "la ciudad de Oviedo" (o incluso de algún pueblo del concejo de Oviedo).
No me cuesta ningún trabajo enviarte un listado de todos los Vallinas de Asturias, los de Oviedo y los de cualquier otra parte, pero eso es como buscar una aguja en un pajar, porque ni siquiera tienen por qué ser parientes todos ellos.
Se necesitarían algunos datos más, que, o bien los sabes por tradición familiar, o bien los tendrás que averiguar rastreando todos los viejos documentos que puedas. Por ejemplo, en papeles tales como testamentos o mil cosas más por un estilo. No sé si dispones de ellos, pero es la única solución que se me ocurre.
Todavía queda otro camino, que es muy lento e inseguro, pero posible. Se trataría de escribir una por una a todas las parroquias, al arzobispado de Oviedo y a los registros civiles de Oviedo y demás concejos. Pero para poder obtener algo como el certificado de nacimiento o bautismo, hay que dar alguna pista a los funcionarios y/o curas. Conociendo el año de nacimiento de tu abuelo, eso ayudaría mucho.
Yo que tú procuraría interrogar a su esposa (si vive), a otros familiares o amigos de su misma generación, etc., es decir, a cualquiera que pudiera conocer algún detalle que nos ponga en una pista más concreta. Si las conservas, repasa posibles cartas, postales o cosas así.
Si siguiendo los pasos anteriores conseguimos un certificado de nacimiento, ya podemos buscar otros familiares tuyos en la actualidad.
A tu disposición para lo que podamos echarte una mano.
Saludos